Biztosan találkoztál már oylan matek feladattal, amiben a kérdés értelmezése is komoly erőfeszítéseket igényelt, mégis sokaknak sikerült megoldani. Akadnak azonban olyan problémák is, amiket elmondhatunk akár egy kisiskolásnak, mégis máig megoldatlanok.

Lássunk egy első látásra egyszerűnek tűnő problémát.

Induljunk ki egy tetszőleges pozitív egész számból, és képezzünk egy sorozatot. Mindig a legutóbbi elemből számoljuk a következőt:

• ha a szám páros, akkor osztjuk 2-vel;
• ha páratlan, akkor megszorozzuk 3-mal, és hozzáadunk 1-et.

Például, ha az első szám a 6, akkor a következő 6:2=3. A 3 páratlan, így a következő tag 3*3+1=10. Folytatva a szabály alkalmazását, a következő sorozatot kapjuk:

6; 3; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1; 4; 2; 1; 4; 2; 1; ...

Látható, hogy egy idő után már csak a 4, 2 és 1 számok ismétlődnek. A Collatz-sejtés néven ismert állítás szerint ez minden esetben bekövetkezik, akármelyik pozitív egészből kiindulva.

Bár a probléma megfogalmazása nagyon egyszerű, a sejtés bizonyítása a legkiválóbb matematikusoknak sem sikerült. Erdős Pál, a 20. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa is reménytelennek vélte.

Számítógép segítségével igazolták minden n≤2⁶⁸ egész számra, hogy az n-nel kezdődő sorozat eléri a 4-2-1 kört. Ezen kívül több állítást is megfogalmaztak, amik látszólag azt mutatják, hogy igaz a sejtés, de bizonyítani nem sikerült.

A sorozatképzési szabály alapján készíthető gráfra viszont szebbnél szebb ábrázolások születtek. Egy lehetséges ábrázolási mód, hogy az 1-ből kiindulva építjük a fagráfot, páros számok esetén az óramutató járásával megegyező irányba fordulunk el, páratlan számok esedtén ellentétes irányba. Így az alábbi organikusnak tűnő képek készíthetők.

A sejtésről és az ábrázolásról is hallhattok bővebben az alábbi videókban.