Mennyit fizetnél, hogy játszhasd a játékot, amiben a nyeremény várható értéke végtelen?
Általános gondolkodásmód, hogy akkor éri meg egy szerencsejátékot játszani, ha a várható nyeremény több, mint a játék ára. Például ha egy dobókockával kell dobni, és 6-os esetén 12$ a nyeremény, más esetben semmi, akkor ebben a játékban 1/6*12$=2$ a nyeremény várható értéke. Így ha a játék ára kevebb, mint 2$, akkor megéri sokat játszani.
Lássunk egy játékot, amiben a várható nyeremény végtelen!
Feldobunk egy pénzérmét. Ha írás, akkor vége a játéknak, és 2$ a jutalmunk. Ha fej, akkor újra dobhatunk. Ha másodjára dobunk írást, akkor már 4$ a nyeremény. Fej esetén folytatjuk a játékot, és a lehetséges nyeremény minden körben duplázódik. A játék akkor ér véget, mikor először írást dobunk. Ha ez az n-edik körben van, akkor a nyereményünk 2n.
1/2 a valószínűsége, hogy az első körben ér véget a játék, 1/4, hogy a másodikban. Ha az n-edik körben ér véget, az azt jelenti, hogy n-1 fejet dobunk, majd utána egy írást. Ennek az esélye 1/2n. A nyeremény várható értéke tehát 1/2*2 + 1/4*4 + ... + 1/2n*2n + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ..., vagyis végtelen nagy.
Ez elméletileg azt jelenti, hogy bármekkora véges összeget megéri fizetni ezért a játékért. Odaadnád a teljes vagyonodat, hogy játszhasd a játékot? Valószínűleg nem!
A várható érték alapján megéri fizetni mondjuk 1000$-t is, a legtöbb racionálisan gondolkodó ember mégse vállalkozna rá. A szentpétervári paradoxon néven ismert jelenséget Daniel Bernoulli és Gabriel Cramer vizsgálta. Arra mutattak rá, hogy a nyereséghez kapcsolódó "hasznosság" nem csak a várható értéktől függ, hanem például a játékos anyagi helyzetétől is. Egy tehetős ember több pénzt tehet kockára, mint egy szegénységben élő személy. Ugyanakkor egy milliomosnak kevésbé hasznos, ha nyer 100$-t, mint egy rászorulónak. Bevezettek egy hasznosságfüggvényt, és a nyeremény várható értéke helyett a nyereség hasznosságának várható értékét számolták. Így becsülhető, hogy egy bizonyos vagyonnal rendelkező ember mennyit lenne hajlandó fizetni a játékért.
Neked mennyit érne meg a játék?
További információ itt és a következő videóban:
